读史使人明智,读诗使人灵秀,数学使人周密,科学使人深刻,伦理学使人庄重,逻辑修辞使人善辩,凡有所学,皆成性格。

——培根

坤鹏论:为什么股市里投1万 一年后变成了1.95元-自媒体|坤鹏论

坤鹏论随着不断展开的多学科学习,终于开始触摸以前最不愿意多看的数学。

硬着头皮啃了一段时间,深刻地感受到了数学之美,以及不懂点数学的愚昧。

比如:有人用数学公式告诉你,投1万进股市,一年时间内变成100万,而且随便你演算,结果真的是这样。

但是,投1万进股市,还有可能最终变成了1块9毛5,你信也不信?

并且,同样有数学公式为证!

这就是数学的奥妙,不同的计算公式,都不存在半点虚假和浮夸,真就能出现如此天壤之别的差距。

这不禁让坤鹏论想起一位朋友曾抱怨的事,他的父亲炒股,十几万炒着炒着就剩几千块了。

原来不甚理解,因为就算频繁交易会产生出乎意料的手续费和税费,但怎么会亏得如此之惨呢!

自从看了几本数学家写的股市相关图书后,比如:《财富公式》、《数学家妙谈股市》等(感谢数学家,以下有的实例就来自他们),坤鹏论的脑洞算是又打开了新的天地,虽然因为数学功底不够好,但依然震撼不已。

今天,就让坤鹏论带大家一起寻找上面这些现实的数学答案吧!

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一、从圣彼得堡赌注谈起

Long long ago,18世纪,故事发生在那个令人胆颤的瑞士数学家族——伯努利家族。

每每聊起这个家族,坤鹏论总有种目眩神迷的感觉,因为它堪称有史以来的科学界神话,三代人中出了8位科学家,出类拔萃的至少有3位;而在他们一代又一代的众多子孙中,至少有一半相继成为杰出人物。

伯努利家族的后裔有不少于120位被人们系统地追溯过,他们在数学、科学、技术、工程乃至法律、管理、文学、艺术等方面享有名望,有的甚至声名显赫。

最不可思议的是这个家族中有两代人,他们中的大多数是数学家,而且,人家还都不是有意选择数学为职业,完全是一见钟情般地沉溺于数学,有人调侃他们就像酒鬼碰到了烈酒。

这才是实至名归的外星人家族!

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话说在这个家族中有个叫丹尼尔·伯努利的小伙,他的叔叔就是鼎鼎大名的、发现大数法则的雅各布·伯努利,而他的父亲叫约翰·伯努利。

其实,约翰和雅各布一样聪明,而且两个人都喜欢吹牛,就像雅各布觉得自己和牛顿不相上下一样,约翰也坚持认为自己不比哥哥雅各布差。

这简直就是瑞士版的既生瑜何生亮!

两兄弟经常会对一个问题进行竞争性地研究,俗称学术掐架,并且还在媒体上无情地攻击对方,让全天下围观。

因为实在无法超越雅各布,约翰的怨恨越积越深,心态扭曲,最后甚至发泄到了他的儿子丹尼尔身上。

丹尼尔也是一位数学家,同时还精通物理学,他曾出过一本很著名的书,对赌场的法罗牌游戏进行分析,发现了“伯努利效应”,后来被运用到了飞机机翼的设计中。

1734年,约翰和丹尼尔共同分享了一项法国科学院奖,对于和儿子一起获奖,约翰的颜面实在无光,他认为这个奖项是自己独得才对。

恼怒之下,丹尼尔被赶出家门。

来自约翰老爸的妒嫉还有个实例,1738年,丹尼尔出了一部关于流体力学的书,结果第二年,他父亲也出了一本内容几乎完全相同的书,不仅署了自己的名字,还把时间改到了1732年,然后公开声称儿子剽窃了老子的作品。

摊上这样的父亲,丹尼尔郁闷至极,不得不跑到遥远的圣彼得堡工作,眼不见为净。

在那里,他为西化的俄罗斯法庭工作,并写了一篇对后世经济学以及投资影响深远的文章。

这篇文章提到了一个虚拟的赌注,它是由另外一名伯努利家族的天才、丹尼尔的表兄尼古拉斯设计的。

这个赌注涉及到一个翻倍的掷硬币游戏:

假设掷出正面为成功,游戏者如果第一次投掷成功,得奖金2元,游戏结束;

第一次如果不成功,无任何代价,继续投掷,第二次成功得奖金4元,游戏结束;

这样,游戏者如果投掷不成功就反复继续投掷,直到成功,游戏结束。

如果第n次投掷成功,得奖金 2^n元(2的n次方),游戏结束。

举个实际的例子更好理解:

假设你出1元钱参加这游戏。

第1次掷出正面,你得2元奖金,游戏结束,你净赚1元,收益率100%;

但是,你前9次掷出的都是反面,第10次才掷出正面,奖金是2的10次方,即1024元,你净赚1023元,收益率102300%;

如果你幸运地在前19次掷出的都是反面,第20次才掷出正面,恭喜你发了笔小财,奖金104万8576元;

如果你足够足够足够幸运,前49次掷出都是反面,第50次掷出正面……

奖金超过112万亿!

注意是万亿!

地球首富非你莫属!

你可能认为,这么好玩的游戏别说拿1元参与,1000元也值!

好吧,我们就来看看花1000元参与会发生什么:

第1次掷出正面,你获得2元奖金,亏损998元,收益率-99.8%,游戏结束!

其他情况,第2、3、4、5、6、7、8、9次掷出正面,奖金分别是4、8、16、32、64、128、256、512,游戏结束。

以上9种情况(包含第1次掷出正面),相当于你1000元的参与费,但都会以亏损结束,而出现上述任意一种情况的概率之和超99.8%,也就是说你付出1000元参与,最后能赚钱的概率不到0.002%。

这个游戏看似潜在的收益无穷(期望值正无穷大,关于期望值是啥,老铁往下看),实际上只是个极小概率暴富的游戏,小得都不值得你去计算。

首先,你付太多参与费,连保本都艰难,所以你只能不停地试,那么就得有足够多的赌本;

其次,现实中也没有人能够出得起这么高的奖金。

丹尼尔在他的文章中这样写道:

“虽然标准计算显示期望值可以无穷大,但是,我们要承认任何足够理性的人都会很高兴地以20达卡(注:货币名称)的价格把这个机会卖掉。事实上,虽然人们认可这个计算方式的结果,赢的机会无穷大,但是没有人会愿意出高价来购买。”

丹尼尔用俄语发表了他的文章,这个赌注就被叫作“圣彼得堡赌注”或“圣彼得堡悖论”。

有人说,这个赌博游戏是圣彼得堡那嘎达人玩的,是大错特错!

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丹尼尔由“圣彼得堡悖论”引发的思考与成果,对于后世经济学贡献极大,凯恩斯在1921年发表的《概率论》中提到,它是每一位20世纪经济学的精神大厦的组成部分。

都有哪些贡献呢?让坤鹏论来数一数。

1.效用

相信在现实中,没有谁拥有无限的财富,所以圣彼得堡赌注这样的游戏不可能出现。

但是,哲学家、数学家、经济学家中就有较真儿的人,要不怎么说,只有偏执狂才能成功,他们认为,可以假定有人拥有无限财富,而且愿意玩这个游戏。

丹尼尔也认为会有这样的人,他提出了另外一个解释,对于未来的经济学思想影响深远,他把钱和人们赋予钱的价值分开。

对于亿万富翁来说,1000美元就像零花钱,而对于乞丐,1000美元则是一笔不小的财富。

所以,获利(或损失)的价值取决于这个人本身已有的资产是多少。

丹尼尔真正的贡献就在于他因此而创造了一个词汇,在英文中这个词被译为“utility”,中文意思为“效用”。

它可以用来描述人们赋予钱的主观价值。

丹尼尔称,人们本能地会选择争取最大的效用,而不一定是最多数目的钱。

大多数情况下,富人心目中的1000美元的价值要低于穷人心目中对这笔钱的价值认定。

“任何财富的小幅度增长所带来的效用和之前拥有的财物数量成反比。”

比如:你朋友的财富是你的两倍,那么他赢了100元后,其喜悦可能只有你的一半。

同理,当他丢了100元后,其心疼度也只有你的一半。

再比如:当你在赌场赢了100万后,第二次再赢100万的话,你的欣喜只有第一次的一半。

2.算出每个人的幸福值

这里先普及一个数学期望的概念。

17世纪,有个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战,给他出了一道难题:甲乙两个人赌博,他们两人获胜的机率相等,比赛规则是先胜三局者为赢家,一共进行五局,赢家可以获得100法郎的奖励。

当比赛进行到第四局的时候,甲胜了两局,乙胜了一局,这时由于某些原因中止了比赛,那么如何分配这100法郎才比较公平?

用概率论的知识,不难得知,甲获胜的可能性大,乙获胜的可能性小。

因为,甲输掉后两局的可能性只有(1/2)×(1/2)=1/4,也就是说甲赢得后两局的概率为1-(1/4)=3/4,甲有75%的期望获得100法郎;

而乙期望赢得100法郎就得在后两局均击败甲,乙连续赢得后两局的概率为(1/2)*(1/2)=1/4,即乙有25%的期望获得100法郎奖金。

可见,虽然不能再进行比赛,但依据上述可能性推断,甲乙双方最终胜利的客观期望分别为75%和25%,因此甲应分得奖金的100*75%=75(法郎),乙应分得奖金的的100×25%=25(法郎)。

这个故事里出现了“期望”这个词,数学期望由此而来。

有老铁看这故事有点眼熟,是的,之前坤鹏论曾在《为什么赌场可以永远赢 为什么十赌九输》讲过,那里面的故事算是正史,而这里的是后人演绎过的,但坤鹏论觉得更好理解些。

在概率论和统计学中,数学期望(mean)(或均值,亦简称期望)是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和,是最基本的数学特征之一。

它反映随机变量平均取值的大小。

需要注意的是,期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等,期望值是该变量输出值的平均数,期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。

既然丹尼尔发现了“任何财富的小幅度增长所带来的效用和之前拥有的财物数量成反比”,那么只要知道拥有的财物数量,就可以算出多少财富的增长能带来多少的效用,其实就是算出一个人的数学期望值。

另外,需要注意的是,效用会随着财富增长而呈现逐渐缩小的趋势。

如果画一张效用和财富的关系图,呈现的是如下面那样的曲线图,而该图表现出了对数功能,所以伯努利的这个发现也被称为对数效用,同样,也是一个迷死后世不少科学家的东东。

不过,后来也有人认为,这个对数效用从心理学角度看来,是不现实的,尤其是处于极端富有的情况下。

所以,要给效用设置个上限,被称为“幸福水平”,也就是算一下你需要多少钱可以满足你所有物质需求或欲望,那些钱,或相应的效用,就是幸福水平。

但是,坤鹏论认为,这一样不合理,因为老话说了:人的欲望无止境,总是这山望着那山高。

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二、投资要用几何平均数衡量

1738年,丹尼尔用俄语写了一篇名为《有关衡量风险的新理论说明》的论文。

论文中并没有过多讲述圣彼得堡赌注或效用等问题,甚至它们都只在附加部分被提了一下,该论文主要讨论的是风险投资应该由几何平均数的结果来衡量。

上学的时候,我们其实都知道有两种平均数。

算术平均数:比较平淡的那一种,把数字都累加起来,然后除以它们的总数,就能得到算术平均数。

几何平均数:大多数人在中学毕业后就把它又交还给老师了,它的计算方法是将一系列(n)的数字相乘,然后计算这个数字的n次方根。

现实中,大多数人都会尽量避免计算n次方根,无它,麻烦!

所以几何平均数一般都是统计学家们在使用。

不管是算术平均数还是几何平均数,它们的意义在于使生活简单化,特别是数据量非常大的时候,我们只要记得一个平均数就能对某件事进行直观地权衡,比如:某个篮球运动员的投球命中率,一个算术平均数就会对其能力阐述得很清楚,而且几个球员的平均数放在一起,一眼就能分出高下。

那什么时候需要计算几何平均数呢?

丹尼尔从赌博开始谈起,如果用算术平均数来计算赌注的期望值,考虑两种出现概率相同的结果,“公平”的赌注,其最终得数应当为零,比如:把10万元赌注下到抛起的硬币,和你旁边的人赌正反面,他下的赌注和你一样多,最终结果无非是你得到两倍的赌资——20万元,或者你变得一无所有。

用算术平均数来计算期望值的话,应该是(20万+0万)/2=10万,这样话,这个赌注是没有意义的,你现在已经有了10万,硬币抛出后,你或许再拿一个10万,或者损失10万。

从风险的角度看,赢得两倍的资产和变得一无所有相比,变得一无所有会让你损失更大。

咱们再用几何平均数的方式来计算一下赌注的期望值,将两个同时存在的可能数值相乘÷20万元×0元,然后计算平方根。

因为零和任何数相乘其结果都为零,所以几何平均值得出的是零,这就是赌注真正价值,所以你不应该将10万元的净资产投在这上面。

几何平均值一般都会小于算术平均值,只有当所有数值都相等,两个平均数才会相等,这就说明,在评估风险问题时,几何平均数要更为保守一些。

丹尼尔相信这种保守主义更符合人们对风险的排斥态度。

由于在风险投资中,几何平均数总是小于算术平均数,“公平的”赌注事实上是不受欢迎的,丹尼尔认为,这是“自然的警告,让人们远离赌博。”

在他看来,只有当优势偏向于某一个人的时候,这样的赌注才有意义,或者是参赌的人之间财富实力不同,赌注才有价值。

丹尼尔在其论文中提到了一位圣彼得堡商人,他搞的是国际贸易,通过海上运输进货,这其实也是一种赌博行为,因为船有沉没的风险,商人就要面临是否购买保险的选择。

如果通过算术平均数计算,保险不是很理想的赌注,但是,如果这名商人的财富实力不强,他就应该通过购买保险来提高自己的几何平均值,即使保金的价格很高。

丹尼尔认为,理智的人会争取最大化的几何平均数,虽然他们自己可能并没有意识到这一点。

“因为我们所有的假设都会以我们的经验为依据,我们不能抛开经验,而仅仅凭我们的猜测来行事。”

丹尼尔倡导的几何平均数和后来约翰·凯利的凯利公式有着密切联系,甚至可以把凯利的解决方案看作是丹尼尔这个简单定律的重述:

当我们面临下赌注或投资的选择时,应该选择那个几何平均数最高的。

当然,丹尼尔的结论明显比计算赌博“优势/概率”的凯利公式应用范围更为广泛。

那么,凯利是不是剽窃了丹尼尔的成果呢?

这个很难确定,但可以肯定的是,丹尼尔的这篇论文直到1954年1月,才被翻译成英文在《计量经济学》中发表。

而且,凯利也没有提到过丹尼尔,同时他是一名通讯方面的科学家,读过《计量经济学》的可能性也不大。

另外,丹尼尔的功劳还在于开辟了投资组合的新思路,与如火如荼的马科维茨的现代投资组合理论相比,算是另一条蹊径,20世纪一位美国学者对此进行了继承,这是后话,坤鹏论未来会详细讲一讲。

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三、投1万为什么最后可能剩1.95元

首先我们要了解两个算收益率的数学公式,这是后面内容的基础,不要担心,很简单。

假设有N个不同的收益率:

算术平均数的平均收益率:N个不同收益率的总和除以N。

几何平均数的平均收益率:[(1+第一个收益率)]×(1+第二个收益率)×(1+第三个收益率)×……×(1+第N个收益率)],然后求这个乘积的N次方根减去1。

还是以实例进行讲解。

假设有这样一个投资计划,每周一早上购买一只股票并且在同一周的周五下午将其售出。

在这一周大约一半的时间内你会获得80%的收益率,在其他一半的时间里,你则会亏损60%。

注意:赚和亏的时间不确定,不管周五是亏还是赚,都要卖出。

先请算术平均数上阵:[80%+(-60%)]/2=10%。

每周获得10%的收益率,那相当相当厉害,在复利的强大加持下,一年以后,你最初投入的1万元将会变得比140万还多。

二请几何平均数前来:[(1+80%)×(1-60%)],用乘积的平方根减去1,也就是(1.8×0.4)的平方根减1,最后得-0.15。

这说明,每周你会损失大约你投资额的15%,同样相当相当厉害,在负复利的强大加持下,一年以后,你的1万块,变成了1.95元。

聪明的老铁可能已经意识到,在一年的26周中,投资会上涨80%,而在另外26周,则会下跌60%。

如果采取同样的策略,遇到只剩1.95元这样结果的投资者会有一多半。

为了计算方便,扣除了每次交易所产生的税费和手续费,如果加上它们,可能不用一年,你的钱就所剩无几了。

怎么会有如此巨大的差距呢?

并且反复观瞧,再三演算,两个数学公式都没有任何错误。

让我们继续探究,见微知著,只看看在最初的两周里,这1万元到底发生了什么。

总共存在以下4种可能:

可能1:两周内都获利

投资者获得1.8×1.8的获利,也就是3.24倍,1万元变成了32400元。

可能2:第一周获利,第二周亏损

投资者的资金发生了1.8×0.4的变化,也就是0.72倍,1万元变成了7200元。

可能3:第一周亏损,第二周获利

这个和上面的情况相同,也就是0.4×1.8,1万元变7200元。

可能4:两周都亏损

这个最惨,0.4×0.4=0.16,1万剩下了1600元。

把四个结果相加,然后除以4,得到的结果是12100元,也就是这1万元在两周后可能得到的平均价值。

这其实也是以每周10%的速度获得收益的结果,1万×1.1×1.1=12100元。

那么,52周后,1万×(1.10)⁵²,用excel算一下,1420000元!

但是,最有可能的结果是,这家公司的股价会在26个星期内上涨,在另外26个星期里下跌。

计算公式就是:1万×1.8²⁶×0.4²⁶,结果1.95元!

用几何平均数也会得到同样的结果:1万×(1-0.15)⁵²=1.95!

通过上面这一通劈里啪啦的计算后,我们可以得到一个结论:

收益率的算术平均数远远超过了收益率的几何平均数。

而几何平均数才是最有可能的收益,也就是中间位置的收益,在数学中被称为中位数。

再简单举个更极端的例子。

一年时间里,你的投资在一半时间里每周翻一倍,另外一半时间里每周亏一半。

答案:一年后,最有可能的结果是不亏也不赚。

但是,用算术平均数一算,你每周获利可以高达25%——[100%+(-50%)]/2,这意味着一年后,1万×1.25⁵²,天!比10亿还多!

而用几何平均数核算则为:[(1+1)×(1-0.5)]的平方根再减去1,收益率为0。

当然,以上的例子估计百年也不遇,属于相当极端不现实的。

但是,它们却让我们直接颠覆了直觉,解释了为什么大多数投资者获得的回报比一般水平更加糟糕,为什么一些基金公司只宣传他们的平均收益率,而它是直接采用的是算术平均数。

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